Kombinatorika a pravděpodobnost

Kalkulačka na kombinační číslo C(n,k), skládání výběrů a klasickou pravděpodobnost - ke každému výsledku vypíše celý rozpis výpočtu, včetně krácení faktoriálů. Zadávej jen čísla; tvoje práce je rozmyslet si, co spočítat.

Nevíš, co dosadit? ↓ Výklad, řešený příklad a nejčastější chyby

1. Základní výběr (kombinační číslo)

Spočítá C(n, k) - kolika způsoby lze vybrat k prvků z n. Typicky pro zjištění počtu všech možností (jmenovatel n).

2. Skládání podskupin

Když taháme z hromádky A a zároveň z hromádky B - kombinační čísla se násobí. Typicky pro čitatel m (příznivé možnosti).

Skupina A
Skupina B

3. Finální pravděpodobnost

Vydělí příznivé možnosti všemi možnostmi a převede na procenta. Mezivýsledky z předchozích sekcí se sem doplňují automaticky.

Jak se takové příklady počítají

Skoro každá školní úloha z kombinatoriky a pravděpodobnosti se dá rozložit na tři kroky: spočítat kolik je všech možností, spočítat kolik z nich je příznivých, a ta dvě čísla vydělit. Sekce kalkulačky nahoře jsou přesně tyhle tři kroky v tomhle pořadí - mezivýsledky si mezi sebou předávají samy.

Kombinační číslo C(n,k)

Kombinační číslo (čte se „n nad k“) říká, kolika způsoby lze z n prvků vybrat k prvků, když nezáleží na pořadí. Vybrat tři žáky do skupiny, pět karet z balíčku, dva výrobky z bedny - to všechno jsou kombinace, protože skupina „Anna, Bára, Cyril“ je tatáž skupina jako „Cyril, Bára, Anna“.

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\cdot\,(n-k)!}

Vzorec vypadá hrozivě, ale při ručním počítání se skoro všechno vykrátí. Kalkulačka to krácení schválně ukazuje krok za krokem - takhle se to počítá u tabule i v písemce, kalkulačka na to jen dává kontrolu.

Pozor na pořadí. Když na pořadí záleží (kdo bude první, druhý a třetí; kolik různých hesel; startovní listina), nejsou to kombinace, ale variace nebo permutace a kombinační číslo se použít nesmí. Kontrolní otázka na jednu větu: „Když ty dva prvky prohodím, je to pořád tentýž výsledek?“ Ano → kombinace. Ne → variace.

Kdy násobit a kdy sčítat

Nejčastější zádrhel není ve vzorci, ale v tom, jestli dílčí počty spojit součinem, nebo součtem. Rozhoduje jediné slovo v zadání:

Slovo „alespoň“ v zadání skoro vždycky znamená součet přes několik scénářů („alespoň dva“ = právě dva + právě tři + …). Někdy je rychlejší spočítat opačný jev: pravděpodobnost, že nastane alespoň jeden, je 1 minus pravděpodobnost, že nenastane žádný.

Klasická pravděpodobnost

Když jsou všechny možnosti stejně pravděpodobné (a u školních úloh s losováním, kartami a výběrem z bedny jsou), platí prostý podíl:

P = \frac{m}{n} = \frac{\text{počet příznivých možností}}{\text{počet všech možností}}

Výsledek vyjde jako číslo mezi 0 a 1; vynásobením stem se z něj stanou procenta. Užitečná průběžná kontrola: jestli ti vyjde pravděpodobnost větší než 1 nebo záporná, spletl ses v m nebo v n, ne až v dělení.

Řešený příklad

V bedně je 12 výrobků, z toho 4 vadné. Náhodně vybereme 3 výrobky. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude právě jeden vadný?

  1. Všechny možnosti (n). Vybíráme 3 výrobky z 12 a nezáleží na pořadí:
    n = \binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220
  2. Příznivé možnosti (m). Právě jeden vadný znamená: 1 vadný ze 4 a zároveň 2 dobré z 8 (dobrých je 12 − 4 = 8). Slovo „a zároveň“ → násobíme:
    m = \binom{4}{1} \cdot \binom{8}{2} = 4 \cdot 28 = 112
  3. Pravděpodobnost. Podíl příznivých ke všem:
    P = \frac{112}{220} \doteq 0{,}5091 = 50{,}91\ \%

V kalkulačce nahoře to jsou postupně: sekce 1 s n = 12, k = 3; sekce 2 v režimu × A ZÁROVEŇ se skupinami (4, 1) a (8, 2); výsledek v sekci 3 už vyjde sám, protože se do ní obě čísla doplní automaticky.

Nejčastější chyby