Rovnice s parametrem není jedna rovnice, ale celá rodina rovnic – a výsledkem není číslo, ale diskuse: pro které hodnoty parametru vyjde jaké řešení. Tady je postup, krokovaný řešený příklad a generátor příkladů, který zkontroluje kritické hodnoty, diskusi i vzorec a ukáže celý zápis do sešitu.
Přejít na: teorie · řešený příklad · procvičování · nejčastější chyby
V rovnici px = 3 jsou dvě písmena s úplně jinou rolí: x je neznámá (to hledáme), p je parametr – zatím neprozrazené číslo. Kdyby ti někdo řekl p = 5, vyřešíš to hned. Jenže neřekl, takže se rovnice řeší pro všechna p najednou.
Proč to nejde prostě vydělit? Protože nevíme, jestli p není nula – a nulou dělit nelze. Dělit výrazem s parametrem smíš až po ověření, že je nenulový. Z tohohle zákazu plyne celá diskuse.
| hodnota parametru | množina řešení |
|---|---|
| p = \ldots (kritická) | K = \mathbb{R} nebo K = \emptyset |
| p \neq \ldots | K = \{\ldots\} |
Přibude podmínka (jmenovatel ≠ 0) – piš ji jako první řádek. Na konci zkontroluj, jestli nalezené x podmínku nesplní jen pro některé p. Prázdná množina tak může mít dva různé důvody: rovnice vede na nepravdu 0 = c, nebo kandidát vyjde, ale podmínka ho vyřadí. Vždycky řekni, který z nich nastal.
Počet kořenů rozhoduje znaménko diskriminantu D = b^2 - 4ac. S parametrem je D(p) výraz a diskuse se dělá podle jeho znaménka:
| D(p) > 0 | dva různé reálné kořeny |
| D(p) = 0 | jeden dvojnásobný kořen x = -\frac{b}{2a} |
| D(p) < 0 | žádný reálný kořen |
Když je daný kořen x_0, dosaď ho – vyjde rovnice pro p (tady se výjimečně opravdu řeší pro parametr). Druhý kořen dají Vietovy vzorce x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, x_1 x_2 = \frac{c}{a}.
Každá rovnice je přímka. Sčítací nebo dosazovací metodou vznikne rovnice A(p)\cdot y = B(p) a dál je to diskuse jako nahoře – kritické hodnoty vypadnou samy, nic se nehádá předem.
Řeš v ℝ rovnici s parametrem p \in \mathbb{R}:
Typ úloh (můžeš zapnout víc najednou):
Výrazy piš normálně z klávesnice: (4-p)/(p-2), 2p+1, p^2. Pod polem uvidíš, jak to čtu.