Euklidovy věty – výška a úseky přepony v pravoúhlém trojúhelníku, s postupem

Výška na přeponu a úseky přepony v pravoúhlém trojúhelníku. Nahoře si potáhni bodem C – čísla se mění, rovnosti platí pořád. Pod tím teorie, řešený příklad krok za krokem a příklady, které ukážou obrázek, zkontrolují výsledek a poznají prohozené úseky i zapomenutou odmocninu.

Stručně teorie

Značení – jeden obrázek pro celé téma

Pravý úhel je u vrcholu C. Přepona c = AB leží naproti němu, odvěsny jsou a = BC a b = AC.
Výška na přeponu v jde z C kolmo na přeponu, její pata je P.
Pata rozdělí přeponu na dva úseky: c_a leží u odvěsny a (u vrcholu B), c_b u odvěsny b (u vrcholu A). Platí c = c_a + c_b.

Pomůcka: c_a je „stín“ odvěsny a. Kdyby na odvěsnu svítilo kolmo shora, vrhne na přeponu stín právě c_a. Proto mají v obrázcích stejnou barvu: oranžová odvěsna, oranžový úsek, modrá odvěsna, modrý úsek, výška zeleně.

Výšky obecně: v každém trojúhelníku jsou výšky tři. V pravoúhlém jsou dvě z nich přímo odvěsny (a je kolmá na b), takže zajímavá je jen ta na přeponu – a o ní jsou Euklidovy věty.

Věty

věta	vzorec	slovy
o výšce	v^2 = c_a \cdot c_b	čtverec nad výškou = obdélník z obou úseků
o odvěsně	a^2 = c \cdot c_a b^2 = c \cdot c_b	čtverec nad odvěsnou = obdélník z celé přepony a úseku u té odvěsny
Pythagorova	a^2 + b^2 = c^2	součet obou vět o odvěsně: c\,c_a + c\,c_b = c\,(c_a + c_b) = c^2

Odkud jsou: tři podobné trojúhelníky

Výška rozřízne trojúhelník ABC na dva menší, APC a PBC. Všechny tři mají pravý úhel a stejné ostré úhly \alpha, \beta (jen se přesouvají), takže jsou podobné a poměry odpovídajících stran se rovnají – z toho vyjdou rovnou všechny tři věty. Nahoře si zaškrtni „ukázat tři podobné trojúhelníky“ a potáhni bodem C.

\begin{aligned} APC \sim PBC&:\ \frac{v}{c_a} = \frac{c_b}{v} &&\Rightarrow\ v^2 = c_a c_b \\ ABC \sim PBC&:\ \frac{a}{c} = \frac{c_a}{a} &&\Rightarrow\ a^2 = c\, c_a \end{aligned}

Doplňkové vztahy

c = c_a + c_b \qquad v = \frac{a\,b}{c}

S = \frac{a\,b}{2} = \frac{c\,v}{2}

Výška v = ab/c plyne z toho, že obsah jde spočítat dvakrát: jednou s odvěsnou jako základnou, jednou s přeponou.

Geometrický význam věty o odvěsně: čtverec nad odvěsnou a má stejný obsah jako obdélník se stranami c a c_a. Druhá odvěsna pokryje zbytek čtverce nad přeponou – a to je přesně Pythagorova věta.

Tři nejčastější chyby

Prohozené úseky. a^2 = c \cdot c_a, ne c \cdot c_b. Úsek musí být ten u dané odvěsny – vždycky nakreslit a obarvit.
Zapomenutá odmocnina. Z v^2 = 36 je v = 6, ne 36. Věty dávají druhé mocniny.
Úsek místo přepony. Ve větě o odvěsně je celá přepona krát úsek – úsek krát úsek je věta o výšce.

Co z čeho spočítám (tahák do sešitu)

znám	spočítám
c_a, c_b	c = c_a + c_b,\ v = \sqrt{c_a c_b},\ a = \sqrt{c\,c_a},\ b = \sqrt{c\,c_b}
a, b	c = \sqrt{a^2 + b^2},\ v = ab/c,\ c_a = a^2/c,\ c_b = b^2/c
a, c	b = \sqrt{c^2 - a^2},\ c_a = a^2/c,\ c_b = c - c_a,\ v = ab/c
v, c_a	c_b = v^2/c_a,\ c = c_a + c_b, dál jako první řádek
a, c_a	c = a^2/c_a,\ c_b = c - c_a, dál jako první řádek
v, c	c_a, c_b jsou kořeny t^2 - c\,t + v^2 = 0

Konstrukce odmocniny

Věta o výšce dává v = \sqrt{c_a \cdot c_b}. Když narýsuješ pravoúhlý trojúhelník s úseky 2 a 3, bude mít výšku přesně \sqrt{6} – jen pravítkem a kružítkem.

Řešený příklad krok za krokem

Pravoúhlý trojúhelník má úseky přepony c_a = 4 cm a c_b = 9 cm. Urči výšku, přeponu a obě odvěsny.

Procvičování

Typ úloh (můžeš zapnout víc najednou):

Výsledek můžeš napsat přesně (2√13, sqrt(52), 25/13) nebo zaokrouhlit na 2 desetinná místa (7,21). Tlačítko √ vloží odmocninu.

Nejčastější chyby

Prohozené c_a a c_b. Nejčastější chyba. Než napíšeš vzorec, ukaž si prstem v obrázku, který úsek patří k odvěsně – je to její „stín“. Když vyjde a^2 + b^2 \neq c^2, je to skoro vždycky tohle.
Úsek místo celé přepony (a^2 = c_a \cdot c_b). Nahlas: výška – dva úseky; odvěsna – celá přepona a jeden úsek.
Zapomenutá odmocnina. Věty dávají druhé mocniny, na konci je vždycky odmocnina.
Všechno Pythagorem. Výsledek bude správně, ale v testu se chtějí Euklidovy věty – a když je zadaný úsek, Pythagoras sám nestačí, úsek do něj dosadit nejde.
Ošklivé odmocniny. \sqrt{52} je v pořádku, ale škola obvykle chce 2\sqrt{13} (částečné odmocnění: najdi největší čtverec, který číslo dělí, 52 = 4 \cdot 13) nebo zaokrouhlení na 2 desetinná místa. Zjisti, co chce tvůj učitel.
Neobrácený vzorec. Z a^2 = c \cdot c_a je c_a = a^2 / c nebo c = a^2 / c_a – jen dělení.
Konstrukce odmocniny bez Thaletovy kružnice. Pravý úhel u C je to, co dělá z PC výšku na přeponu. Bez něj věta neplatí.
Žádná kontrola. Každý výsledek jde ověřit jinou větou: c_a + c_b = c, a^2 + b^2 = c^2, v = ab/c. Jedna kontrola navíc stojí půl minuty.